능능문하문

고1 이차함수의 꼭짓점과 최대·최소 문제 만들기

완전제곱식으로 꼭짓점·축·최댓값·최솟값을 구해요. 버튼 한 번으로 새 문제를 만들고, 화면에서 채점하거나 정답·풀이지와 함께 인쇄해요.

고1 · 중학교 3학년에서 처음 배우고 고등학교 1학년(공통수학1)에서 최대·최소로 확장해요
이런 문제가 나와요
이차함수 y = −3x² − 18x − 31의 꼭짓점의 좌표는?

완전제곱식으로 꼭짓점·축·최댓값·최솟값을 구해요.

🖨️ 문제 만들기 · 인쇄용 학습지

12문제가 기본이고 문제 수와 시트 번호를 바꿀 수 있어요. 인쇄하면 A4에 문제, 다음 장에 정답과 풀이가 나와요.

📒 학습 기록 보기 · ❗ 오답 노트

같은 학습지를 다시 열려면 이 주소를 저장하세요: ?seed=162177

이차함수의 꼭짓점과 최대·최소 학습지시트 번호 #162177
이름 날짜 점수 / 12

물음에 답하세요.

  1. 이차함수 y = 2x² + 20x + 50의 최솟값은?
  2. 이차함수 y = −2x² + 20x − 57의 최댓값은?
  3. 이차함수 y = 3x² + 24x + 50의 그래프의 축의 방정식은?
  4. 이차함수 y = −3x² + 12x − 11의 그래프의 축의 방정식은?
  5. 이차함수 y = −x² + 10x − 33의 최댓값은?
  6. 이차함수 y = −3x² + 30x − 66의 꼭짓점의 좌표는?
  7. 이차함수 y = x² + 6x + 3의 꼭짓점의 좌표는?
  8. 이차함수 y = 3x² − 7의 그래프의 축의 방정식은?
  9. 이차함수 y = −2x² + 4x − 8의 꼭짓점의 좌표는?
  10. 이차함수 y = −3x² − 6x + 6의 꼭짓점의 좌표는?
  11. 이차함수 y = −x² − 2x + 3의 꼭짓점의 좌표는?
  12. 이차함수 y = 3x² − 24x + 45의 그래프의 축의 방정식은?
이차함수의 꼭짓점과 최대·최소 학습지 — 정답·풀이시트 번호 #162177
  1. 0
    완전제곱식으로 고치면 y = 2(x + 5)² → 아래로 볼록해서 x = −5일 때 최솟값 0
  2. −7
    완전제곱식으로 고치면 y = −2(x − 5)² − 7 → 위로 볼록해서 x = 5일 때 최댓값 −7
  3. x = −4
    완전제곱식으로 고치면 y = 3(x + 4)² + 2 → 축 x = −4
  4. x = 2
    완전제곱식으로 고치면 y = −3(x − 2)² + 1 → 축 x = 2
  5. −8
    완전제곱식으로 고치면 y = −(x − 5)² − 8 → 위로 볼록해서 x = 5일 때 최댓값 −8
  6. (5, 9)
    완전제곱식으로 고치면 y = −3(x − 5)² + 9 → 꼭짓점 (5, 9)
  7. (−3, −6)
    완전제곱식으로 고치면 y = (x + 3)² − 6 → 꼭짓점 (−3, −6)
  8. x = 0
    완전제곱식으로 고치면 y = 3x² − 7 → 축 x = 0
  9. (1, −6)
    완전제곱식으로 고치면 y = −2(x − 1)² − 6 → 꼭짓점 (1, −6)
  10. (−1, 9)
    완전제곱식으로 고치면 y = −3(x + 1)² + 9 → 꼭짓점 (−1, 9)
  11. (−1, 4)
    완전제곱식으로 고치면 y = −(x + 1)² + 4 → 꼭짓점 (−1, 4)
  12. x = 4
    완전제곱식으로 고치면 y = 3(x − 4)² − 3 → 축 x = 4

이차함수의 꼭짓점과 최대·최소, 이런 단원이에요

y = ax² + bx + c를 y = a(x − p)² + q 꼴로 고치면 꼭짓점이 (p, q), 축이 x = p예요. a > 0이면 아래로 볼록해 x = p에서 최솟값 q, a < 0이면 위로 볼록해 최댓값 q를 가져요.

  • 꼭짓점의 x좌표 p = −b ÷ 2a
  • y = a(x − p)² + q → 꼭짓점 (p, q), 축 x = p
  • a > 0이면 최솟값, a < 0이면 최댓값 q

예시 문제 3개와 풀이

아래 예시도 생성기가 만든 문제예요. 풀이 과정을 먼저 같이 읽고 학습지를 풀어 보세요.

  1. 물음에 답하세요.
    이차함수 y = −3x² − 18x − 31의 꼭짓점의 좌표는?
    풀이: 완전제곱식으로 고치면 y = −3(x + 3)² − 4 → 꼭짓점 (−3, −4)
    답: (−3, −4)
  2. 물음에 답하세요.
    이차함수 y = x² − 8x + 20의 최솟값은?
    풀이: 완전제곱식으로 고치면 y = (x − 4)² + 4 → 아래로 볼록해서 x = 4일 때 최솟값 4
    답: 4
  3. 물음에 답하세요.
    이차함수 y = −x² + 1의 꼭짓점의 좌표는?
    풀이: 완전제곱식으로 고치면 y = −x² + 1 → 꼭짓점 (0, 1)
    답: (0, 1)

자주 묻는 질문

이차함수의 꼭짓점과 최대·최소는 몇 학년에 배우나요?

보통 중학교 3학년에서 처음 배우고 고등학교 1학년(공통수학1)에서 최대·최소로 확장해요에 배워요. 교육과정 개정과 교과서에 따라 시기가 조금 다를 수 있으니 학교 진도표와 함께 확인하세요.

문제는 어디서 가져왔나요? 교과서 문제인가요?

아니요. 능문하문 프로그램이 단원 규칙에 맞춰 숫자를 무작위로 골라 직접 만들고, 정답도 프로그램이 다시 계산해 검산한 값이에요. 교과서나 시험 문항을 옮기지 않았어요.

같은 학습지를 다시 만들 수 있나요?

학습지마다 시트 번호가 있어요. 주소의 ?seed= 숫자(또는 시트 번호 칸)가 같으면 언제 열어도 같은 문제가 나와요. 문제 수를 바꾸면 주소에 &n=도 붙어요. 주소를 저장하거나 친구에게 보내면 똑같은 시험지를 풀 수 있어요.

답은 어떻게 입력하나요?

좌표는 '1, -3'이나 '(1, -3)', 축은 'x = 1'이나 '1'처럼 써요. '화면에서 채점하기'를 누르면 맞은 문제는 초록, 틀린 문제는 빨강으로 표시되고, 틀린 문제는 아이별 오답 노트에 모여요.

꼭짓점을 공식으로만 구해도 되나요?

x = −b/2a를 대입해 y값을 구해도 같은 답이 나와요. 다만 완전제곱식으로 고치는 과정을 연습해 두면 평행이동·최대최소 문제를 더 쉽게 풀 수 있어요.

출처

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학년 표시는 대략적인 안내예요. 문제와 정답은 프로그램이 만들고 검산하지만, 이상한 문제를 발견하면 시트 번호와 함께 알려 주세요.